Was ist Zufall?

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Die Sendung „In Our Time“ von BBC Radio 4 befasste sich heute mit dem Thema Zufälligkeit. Die In Our Time-Website enthält einen Link zum Programm auf dem iPlayer, wenn Sie es beim ersten Mal verpasst haben.

Was versteht man unter Zufall? Nun, ein wirklich zufälliges Ereignis ist nicht deterministisch, d. h. es ist nicht möglich, das nächste Ergebnis basierend auf den vorherigen Ergebnissen oder irgendetwas anderem zu bestimmen.

Tatsächlich sind zufällige Prozesse in vielen Bereichen der Mathematik, der Naturwissenschaften und des Lebens im Allgemeinen sehr wichtig, aber wirklich zufällige Prozesse sind bemerkenswert schwer zu erreichen. Warum sollte dies der Fall sein? Denn theoretisch sind viele Prozesse, die wir für zufällig halten, wie etwa das Würfeln, tatsächlich deterministisch. Theoretisch könnten Sie das Ergebnis des Würfelwurfs bestimmen, wenn Sie seine genaue Position, Größe usw.

Der antike griechische Philosoph und Mathematiker Demokrit (ca. 460 v. Chr. – ca. 370 v. Chr.) gehörte der Gruppe der Atomisten an. Diese Gruppe der Alten war die Pionierin der Vorstellung, dass alle Materie in ihre Grundbausteine, die Atome, unterteilt werden kann. Demokrit erklärte, es gebe keinen wahren Zufall. Er nannte das Beispiel von zwei Männern, die sich an einem Brunnen treffen, die beide ihre Begegnung als reinen Zufall betrachten. Was sie nicht wussten, war, dass das Treffen wahrscheinlich von ihren Familien im Voraus arrangiert wurde. Dies kann als Analogie zum deterministischen Würfelwurf betrachtet werden: Es gibt Faktoren, die das Ergebnis bestimmen, auch wenn wir sie nicht genau messen oder kontrollieren können.

Epikur (341 v. Chr. – 270 v. Chr.), ein späterer griechischer Mathematiker, war anderer Meinung. Obwohl er keine Ahnung hatte, wie klein Atome wirklich waren, schlug er vor, dass sie zufällig in ihre Bahnen schwenken. Egal wie gut wir die Bewegungsgesetze verstehen, es wird immer Zufall durch diese zugrunde liegende Eigenschaft von Atomen eingeführt.

Aristoteles arbeitete weiter an der Wahrscheinlichkeit, aber es blieb ein nicht mathematisches Streben. Er teilte alle Dinge in bestimmte, wahrscheinliche und unerkennbare ein, zum Beispiel schrieb er über das Ergebnis des Wurfs von Knöchelknochen, frühen Würfeln, als nicht erkennbar.

Wie in vielen anderen Bereichen der Mathematik taucht das Thema Zufall und Wahrscheinlichkeit in Europa erst in der Renaissance wieder auf. Der Mathematiker und Spieler Gerolamo Cardano (24. September 1501 – 21. September 1576) hat die Wahrscheinlichkeiten einer Sechs mit einem Würfel, einer Doppelsechs mit 2 Würfeln und einer Dreiergruppe mit Drei richtig aufgeschrieben. Er war der erste, der bemerkte oder zumindest feststellte, dass man mit 2 Würfeln eher eine 7 würfelt als jede andere Zahl. Diese Enthüllungen waren Teil seines Handbuchs für Spieler. Cardano hatte unter seiner Vorliebe zum Glücksspiel schrecklich gelitten (manchmal verpfändete er den gesamten Besitz seiner Familie, landete in einem Armenhaus und in Kämpfen). Dieses Buch war seine Art, anderen Spielern zu sagen, wie viel sie setzen sollten und wie sie sich aus Schwierigkeiten heraushalten können.

Im 17. Jahrhundert arbeiteten Fermat und Pascal zusammen und entwickelten eine formalisiertere Wahrscheinlichkeitstheorie und Zahlen wurden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Pascal entwickelte die Idee eines Erwartungswerts und benutzte bekanntermaßen ein probabilistisches Argument, Pascals Wette, um seinen Glauben an Gott und sein tugendhaftes Leben zu rechtfertigen.

Heutzutage gibt es ausgeklügelte Tests, die an einer Zahlenfolge durchgeführt werden können, um festzustellen, ob die Folge wirklich zufällig ist oder ob sie durch Formeln, Menschen oder auf andere Weise bestimmt wurde. Kommt zum Beispiel die Zahl 7 in einem Zehntel der Fälle vor (plus oder minus einem zulässigen Fehler)? Folgt der Ziffer 1 eine weitere 1 ein Zehntel der Zeit?

Eine immer ausgefeiltere Reihe von Tests kann in Aktion treten. Wir haben den "Poker-Test", der Zahlen in Fünfergruppen analysiert, um zu sehen, ob es zwei Paare, einen Dreier usw. gibt, und die Häufigkeit dieser Muster mit denen vergleicht, die in einer wirklich zufälligen Verteilung erwartet werden. Der Chi-Quadrat-Test ist ein weiterer Favorit von Statistikern. Unter der Voraussetzung, dass ein bestimmtes Muster aufgetreten ist, gibt es eine Wahrscheinlichkeit und ein Konfidenzniveau an, dass es durch einen zufälligen Prozess erzeugt wurde.

Aber keiner dieser Tests ist perfekt. Es gibt deterministische Sequenzen, die zufällig aussehen (alle Tests bestehen), es aber nicht sind. Zum Beispiel sehen die Ziffern der irrationalen Zahl π wie eine Zufallsfolge aus und bestehen alle Zufälligkeitstests, aber das ist es natürlich nicht. π ist eine deterministische Zahlenfolge – Mathematiker können sie mit ausreichend leistungsfähigen Computern auf beliebig viele Nachkommastellen berechnen.

Eine andere natürlich vorkommende, scheinbar zufällige Verteilung ist die der Primzahlen. Die Riemann-Hypothese bietet eine Möglichkeit, die Verteilung der Primzahlen zu berechnen, aber sie bleibt ungelöst und niemand weiß, ob die Hypothese für sehr große Werte gültig bleibt. Wie die Ziffern in der irrationalen Zahl π besteht die Verteilung der Primzahlen jedoch alle Zufälligkeitstests. Es bleibt deterministisch, aber unvorhersehbar.

Ein weiteres nützliches Maß für die Zufälligkeit ist eine Statistik namens Kolmogorov-Komplexität, benannt nach dem russischen Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Die Kolmogorov-Komplexität ist die kürzeste mögliche Beschreibung einer Zahlenfolge, zum Beispiel die Folge 01010101…. könnte einfach als "Repeat 01" beschrieben werden. Dies ist eine sehr kurze Beschreibung, die darauf hinweist, dass die Reihenfolge sicherlich nicht zufällig ist.

Für eine wirklich zufällige Folge wäre es jedoch unmöglich, die Ziffernfolge in irgendeiner vereinfachten Form zu beschreiben. Die Beschreibung wäre genauso lang wie die Sequenz selbst, was darauf hindeutet, dass die Sequenz zufällig erscheint.

In den letzten zwei Jahrhunderten haben Wissenschaftler, Mathematiker, Ökonomen und viele andere begonnen zu erkennen, dass Sequenzen von Zufallszahlen für ihre Arbeit sehr wichtig sind. Und so wurden im 19. Jahrhundert Methoden entwickelt, um Zufallszahlen zu generieren. Würfel, kann aber voreingenommen sein. Walter Welden und seine Frau verbrachten Monate an ihrem Küchentisch damit, über 26000 Mal einen Satz von 12 Würfeln zu würfeln, aber diese Daten erwiesen sich aufgrund von Verzerrungen in den Würfeln als fehlerhaft, was eine schreckliche Schande zu sein scheint.

Die erste veröffentlichte Sammlung von Zufallszahlen erscheint in einem Buch von 1927 von Leonard HC Tippet. Danach gab es viele Versuche, viele mit Fehlern. Eine der erfolgreichsten Methoden war die von John von Neumann, dem Pionier der Mittelquadratmethode, bei der eine 100-stellige Zahl quadriert wird, die mittleren 100 Stellen aus dem Ergebnis extrahiert und erneut quadriert werden und so weiter. Dieser Prozess liefert sehr schnell eine Reihe von Ziffern, die alle Zufälligkeitstests bestehen.

Bei den US-Präsidentschaftswahlen 1936 wiesen alle Meinungsumfragen auf ein knappes Ergebnis hin, mit einem möglichen Sieg für den Kandidaten der Republikanischen Partei, Alf Landon. Das Ergebnis war ein Erdrutsch gegen Franklin D. Roosevelt von der Demokratischen Partei. Die Meinungsforscher hatten schlechte Stichprobenverfahren gewählt. In ihrem Versuch, Hightech zu sein, hatten sie Leute angerufen, um sie nach ihren Wahlabsichten zu fragen. In den 1930er Jahren war es für wohlhabendere Menschen – hauptsächlich republikanische Wähler – viel wahrscheinlicher, ein Telefon zu haben, und so waren die Ergebnisse der Umfragen stark verzerrt. Bei Umfragen ist die wirkliche Randomisierung der Stichprobenpopulation von größter Bedeutung.

Ebenso ist es auch bei medizinischen Tests sehr wichtig. Die Auswahl eines voreingenommenen Stichprobensatzes (z. B. zu viele Frauen, zu viele junge Menschen usw.) kann dazu führen, dass ein Medikament mehr oder weniger wahrscheinlich wirkt, was das Experiment verzerrt und möglicherweise gefährliche Folgen hat.

Eines ist sicher: Menschen sind nicht sehr gut darin, zufällige Sequenzen zu produzieren und sie sind auch nicht sehr gut darin, sie zu erkennen. Beim Testen mit zwei Punktmustern kann ein Mensch besonders schlecht entscheiden, welches Muster zufällig erzeugt wurde. Auch beim Versuch, eine zufällige Zahlenfolge zu erstellen, verwenden nur sehr wenige Menschen Merkmale wie beispielsweise Ziffern, die dreimal hintereinander vorkommen, was ein sehr wichtiges Merkmal von Zufallsfolgen ist.

Aber gibt es etwas wirklich Zufälliges? Zurück zu den Würfeln, die wir am Anfang betrachtet haben, wo die Kenntnis der genauen Anfangsbedingungen es uns ermöglicht hätte, das Ergebnis vorherzusagen, dies gilt sicherlich für jeden physikalischen Prozess, der eine Reihe von Zahlen erzeugt.

Nun, bis jetzt sind Atom- und Quantenphysik dem am nächsten gekommen, uns wirklich unvorhersehbare Ereignisse zu liefern. Wann ein radioaktives Material zerfällt, lässt sich bis heute nicht genau bestimmen. Es scheint zufällig, aber vielleicht verstehen wir es einfach nicht. Im Moment bleibt es wahrscheinlich die einzige Möglichkeit, wirklich zufällige Sequenzen zu generieren.

Ernie, der Premium-Anleihengenerator der britischen Regierung, befindet sich jetzt in seiner vierten Reinkarnation. Es muss zufällig sein, um allen Inhabern von Premium-Anleihen des Landes die gleiche Chance auf einen Gewinn zu geben. Es enthält einen Chip, der das thermische Rauschen in sich ausnutzt, also die Bewegungsmenge der Elektronen. Staatliche Statistiker führen Tests der Zahlenfolgen durch, die dadurch erzeugt werden, und sie bestehen tatsächlich die Tests auf Zufälligkeit.

Andere Anwendungen sind: die zufälligen Primzahlen, die bei Internettransaktionen verwendet werden, die Verschlüsselung Ihrer Kreditkartennummer. Die Automaten der National Lottery verwenden eine Reihe von sehr leichten Kugeln und Luftströmungen, um sie zu vermischen, aber wie bei den Würfeln könnte dies theoretisch vorhergesagt werden.

Schließlich verwendet das Met Office Sätze von Zufallszahlen für seine Ensemble-Vorhersagen. Manchmal ist es aufgrund der bekannten "Chaos-Theorie" schwierig, das Wetter vorherzusagen – dass der Endzustand der Atmosphäre stark von den genauen Anfangsbedingungen abhängt. Es ist unmöglich, die Anfangsbedingungen mit der erforderlichen Genauigkeit zu messen, daher füttern Atmosphärenforscher ihre Computermodelle mit verschiedenen Szenarien, wobei die Anfangsbedingungen jeweils leicht variieren. Dies führt zu einer Reihe unterschiedlicher Vorhersagen und einem Wettermoderator, der eher von prozentualen Chancen als von Gewissheiten spricht.

Siehe auch: In unserer Zeit.

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